L’importanza di essere "uno" (Ovvero la legge di Benford)

In quest'articolo diamo un'informale presentazione della cosiddetta legge di Benford. Si tratta di una controintuitiva distribuzione di probabilità che descrive la frequenza con la quale compaiono le prime cifre signicative - quindi dall'1 al 9 - in insiemi di numeri associati a quantità eterogenee. A differenza di quanto ci si potrebbe attendere, tali frequenze non sono uguali fra loro ma sono decrescenti, cioè l'1 compare piu spesso del 2, che compare piu spesso del 3 e via dicendo. Dopo un'introduzione a questa legge, mostreremo come, forse inaspettatamente, essa sia soddisfatta dai numeri generati da alcune successioni di potenze, poi ne illustreremo qualche applicazione in ambito socio-economico (ad esempio per individuare frodi contabili o brogli elettorali), ed infine la utilizzeremo per analizzare le dichiarazioni dei redditi di alcuni ex candidati alla presidenza degli Stati Uniti d'America.

Se si considera un insieme eterogeneo di numeri, è abbastanza naturale aspettarsi che la prima cifra (meglio, la cifra più significativa, non consideriamo gli zeri iniziali) assuma i valori da 1 a 9 con le stesse frequenze. Ma se esaminate il vostro insieme eterogeneo, vi accorgerete che fatalmente le prime cifre compaiono con frequenze diverse e, verosimilmente, la cifra 1 con una frequenza attorno al 30%, la cifra 2 attorno al 17%, e così via, decrescendo, la cifra 9 comparirà circa il 5% delle volte. Questa distribuzione (della prima cifra significativa) prende il nome di legge di Benford. In quest'articolo, presentiamo una sintetica rassegna delle applicazioni di questa legge, soffermandoci su alcuni suoi utilizzi come strumento per la rilevazione di possibili frodi commerciali e finanziarie, concludendo con l'esame delle dichiarazioni dei redditi di alcuni recenti candidati alla carica di presidente degli Stati Uniti d’America.